СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

                                         

Рекуррентные соотношения

 

Продифференцируем по х  ряд

                        :

 Справа получим:

      

 

       

                  

                                                                  

То же самое проделаем для ряда :

      

                            

                              

                

 

Выполним теперь  дифференцирование непосредственно в  левой части:

       в         ,

        в      

После преобразований получаем рекуррентные соотношения

                                                   

                                                   

Вычитая  (4.131'')  из  (4.131'), находим

                                             (4.132)

С помощью (4.132) устанавливаем рекуррентное соотношение для функций Неймана,

                                           (4.133)

                                                  (4.134)           

Формулы (4.132) и (4.133) позволяют выразить функции Бесселя и Неймана  высших порядков через .

Функции нецелых порядков выражаются через    и   . Для них получаем из определения функций Бесселя:

                  

    

         

 

          

 

                              

  

                

              

 

                                  

Формулы (4.135) позволяют легко представить характер функций Бесселя половинного аргумента (Рис.8)

 

  Рис.8 Функции Бесселя половинного аргумента и 

      

                       2.   Нули цилиндрических функций                               

Нули цилиндрических функций являются решениями уравнений   или  .  Свойства нулей устанавливаются следующими теоремами.

1)   Все нули цилиндрических функций простые, то есть в их окрестности функция может быть представлена  в виде ;

2)   Все нули функций Бесселя  с вещественным индексом   вещественны;

3)   У всякой функции Бесселя   и  функции Неймана    с вещественными индексами имеется бесконечное множество  нулей. На основании этих свойств нули могут быть перенумерованы в порядке роста  .

4)   Нули являются функциями индекса  ν. При этом  нули функций   и   c    растут с ростом  ν.

5)   Функции   и  не имеют общих нулей, кроме, быть может, . 

 

  Ортогональность функций Бесселя

 

Уравнение Бесселя получено при разделении переменных в задаче Штурма - Лиувилля. Следовательно, его решения должны обладать свойствами собственных функций задачи Штурма - Лиувилля. В частности, они являются ортогональными на отрезке (0,l). Этот факт формулируется в виде теоремы:

Функции Бесселя   c   ортогональны на интервале   с весом, то есть

                            (4.136)

или                                

где         -  корни одного из уравнений 

.

Квадрат нормы функции Бесселя  равен

                

или                 

По функциям Бесселя, как собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля, может быть разложена в ряд Фурье любая "хорошая" функция. Особенно они удобны в задачах с цилиндрической симметрией, тогда как тригонометрические функции удобнее в декартовых координатах.

Возвратимся к охлаждающемуся цилиндру. Общее решение уравнения (4.114) имеет вид

                    

Из условия его ограниченности в нуле получаем  ,

                                

Собственные значения находим из граничного условия на поверхности цилиндра при  ,

    

где   -  корни функции Бесселя  .   Из соображений симметрии температура внутри цилиндра не может зависеть от азимутального угла . Это возможно только при  m=0 . Таким образом, решение принимает  вид

                         

Из (4.115) получаем безразмерное поле температур

                                 (4.138)

Постоянные  находим из начального условия

                       

Умножаем его на   и  интегрируем  по  отрезку  :

            

С учетом соотношения ортогональности и (4.130'')  получаем

        

                                

       ( используем (4.137''))    

 

                             (4.139)

В размерных величинах поле температур  имеет вид

                      (4.140)

Для получения результата приемлемой точности на практике можно ограничиться конечным числом n слагаемых в сумме (4.140).  Графики функции  показаны на рис. 4.10.

          

 

         Рис.4.10  Радиальное   распределение температуры  цилиндра

                         радиуса   R = 0,025м   через   0,1; 1; 5; 25 сек    после

                         погружения в закалочную среду с температурой

                       .