Многочлены Лежандра

Общая информация
Многочлены Лежандра
Формула	$P_n(z)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dz^n}(z^2-1)^n$
Скалярное произведение	$(f, g) = \int_{-1}^{1} {f(x) g(x) dx}$
Область определения	$[-1, 1]$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + n(n+1)u = 0$
Норма	$\|\|P_n(x)\|\| = \sqrt{\frac{2}{2n+1}}$
Названы в честь	Лежандр, Адриен Мари

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $[-1,\;1]$ по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\{1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots\}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

ОпределениеПравить

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго родаПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + n(n+1)u = 0,

(УравнПолЛеж)

где $~z$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых $~n$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени $~n$ можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

P_n(z)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dz^n}(z^2-1)^n

Часто вместо $~z$ записывают косинус полярного угла:

P_n(\cos\theta)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\cos^2\theta-1)^n

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

(1-z^2) \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}-2z\frac{\mathrm du}{\mathrm dz} + \left[ \nu(\nu+1) - \frac{\mu^2}{1-z^2}\right]u = 0,

(УравнЛеж)

где $~\mu$ , $~\nu$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при $~|z| < 1$ (в частности, при действительных $~z$ ) или когда действительная часть числа $~z$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида $w = (z^2-1)^{\mu/2}$ в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области $|1 - z| < 2$ принимает вид

w = P_\nu^\mu(z)=\frac{1}{\Gamma(1-\mu)} \left( \frac{z+1}{z-1} \right)^{\mu/2} F\left(-\nu,\nu+1; 1-\mu; \frac{1}{2} - \frac{z}{2} \right),

где F — гипергеометрическая функция. Подстановка $w = z^2$ в (УравнЛеж) приводит к решению вида

w = Q_\nu^\mu(z)= e^{\mu i \pi} 2^{-\nu-1}\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(\nu+\mu+1)}{\Gamma(\nu+3/2)} z^{-\nu-\mu-1}(z^2-1)^{\mu/2} F\left(\frac{\nu}{2}+\frac{\mu}{2}+1,\frac{\nu}{2}+\frac{\mu}{2}+\frac{1}{2}; \nu+\frac{3}{2}; z^{-2} \right),

определённым на $|z|>1$ . Функции $P_\nu^\mu(z)$ и $Q_\nu^\mu(z)$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.^[2]

Справедливы соотношения^[3]

P_\nu^\mu(z) = P_{-\nu-1}^\mu(z)

Q_\nu^\mu(z) \sin\pi(\nu+\mu) - Q_{-\nu-1}^\mu(z) \sin\pi(\nu-\mu) = \pi e^{i\mu\pi}\cos(\nu\pi)P_\nu^\mu(z).

Выражение через суммыПравить

Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:

P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n}x^{n-2k};

P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^{k};

P_n(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k

, если

x\neq -1

;

P_n(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k

, если

x\neq 1

Рекуррентная формулаПравить

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при n>1)^[4]:

P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x)

(РекуррЛеж)

P_0(x)=1

P_1(x)=x

Производная полинома ЛежандраПравить

Вычисляется по формуле^[5]:

P'_{n}(x)=\frac{n}{1-x^2} [P_{n-1}(x)-xP_n(x)].

(ПроизвЛеж)

Корни полинома ЛежандраПравить

Вычисляются итеративно по методу Ньютона^[5]:

x_i^{(k+1)} = x_i^{(k)} - \frac{P_{n}(x_i^{(k)})}{P'_{n}(x_i^{(k)})}

причем, начальное приближение для i-го корня (i = 1, 2, …, n) берется по формуле^[5]

x_i^{(0)} = cos[\pi (4i-1)/(4n+2)].

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную фомулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениямиПравить

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

для $|t| < \min |x\,$ ± $\sqrt{x^2-1}|$ :

(1-2tx+t^2)^{- \frac{1}{2}}=\sum_{n=1}^\infty P_n(x)t^n,

и для $|t| > \max |x\,$ ± $\sqrt{x^2-1}|$ :

(1-2tx+t^2)^{- \frac{1}{2}}=\sum_{n=1}^\infty P_n(x)\frac{1}{t^{n+1}}.

Следовательно, $P_n(x)=\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2} [x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-...].$

Присоединённые многочлены ЛежандраПравить

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^m}{dx^m}P_n(x),

которую также можно представить в виде:

P^m_n(\cos\theta)=\sin^m\theta\frac{d^m}{d(\cos\theta)^m} P_n(\cos\theta).

При $m = 0$ функция $P^m_n$ совпадает с $~P_n$ .

Сдвинутые многочлены ЛежандраПравить

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как $\tilde{P_n}(x) = P_n(2x-1)$ , где сдвигающая функция $x\mapsto 2x-1$ (это аффинное преобразование) - выбрана так чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов $[-1, 1]$ на интервал $[0, 1]$ в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены $\tilde{P_n}(x)$ :

\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как:

\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является:

\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\,

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	$\tilde{P_n}(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^2-6x+1$
3	$20x^3-30x^2+12x-1$
4	$70x^4-140x^3+90x^2-20x+1$

Матрица функции многочлена ЛежандраПравить

\begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -6 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 6 & 0 & -12 &\vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 20 & \vdots & 0 & \vdots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \ddots & \vdots & \dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\dots & k(k+1) &\dots & \vdots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots &\dots & \dots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots & n(n+1) \\ \end{pmatrix}

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны $k(k+1)$ , где $k\in\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n\}$ .

ПримерыПравить

Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

$P_0(x)=1;\,$
$P_1(x)=x;\,$
$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);$
$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);$
$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);$
$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);$
$P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);$
$P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);$
$P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);$
$P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);$
$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).$

Поскольку $~P_n(1)=1$ , то

P_n(x)=\frac{1}{\lambda_0+\lambda_1+\ldots+\lambda_n}(\lambda_0+\lambda_1x+\lambda_2x^2+\ldots+\lambda_nx^n)=\frac{\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i x^i}{\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i}.

СвойстваПравить

Если $n\neq 0$ , то $\forall x\in(-1,\;1),\;|P_n(x)|< 1.$
Для $n\neq 0$ , степень $P_n$ равна n.
Сумма коэффициентов многочлена Лежандра $P_n(x)\,$ равна 1.
Уравнение $P_n(x)=0 \,$ имеет ровно $n$ различных корней на отрезке $[-1,\;1].$
Пусть $\forall n\in\N,\;U_n(x)=(x^2-1)^n$ . Тогда:

$U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_n(x)=0;\,$
$(x^2-1)U'_n(x)-2nxU_n(x)=0.\,$

Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

\frac{d}{dx}\left[(1-x^2)\frac{d}{dx}P_n(x)\right]-\frac{m^2}{(1-x^2)}P_n(x)+n(n+1)P_n(x)=0.

При

m=0

уравнение принимает вид

P'_{n+1}(x)=xP'_n(x)+(n+1)P_n(x).\,

Производящая функция для многочленов Лежандра равна:

\sum_{n=0}^\infty P_n(z)x^n=\frac{1}{\sqrt{1-2xz+x^2}}.

Условие ортогональности этих полиномов на отрезке $[-1,\;1]$ :

\int\limits_{-1}^1 P_k(x)P_l(x)\,dx=\frac{2}{2k+1}\delta_{kl},

где $\delta_{kl}$ — символ Кронекера.

Для $n\in\N$ , норма $P_n$ равна:

||P_n||=\sqrt{\int\limits_{-1}^1 P_n^2(x)\,dx}=\sqrt{\frac{2}{2n+1}}.

Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой $P_n$ следующим соотношением:

\tilde P_n(x)=\frac{P_n(x)}{||P_n||}=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(x).

При каждом $m>0$ система присоединённых функций Лежандра $P^m_n(x),\;n=m,\;m+1,\;\ldots$ полна в $L_2(-1,\;1)$ .
В зависимости от $m$ и $n$ присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

P^m_n(-x)=(-1)^{m+n}P^m_n(x).

$P_{2n}\,$ — четная функция;
$P_{2n+1}\,$ — нечетная функция.

$P_n(1)=1.\,$
$P_n(-1)=(-1)^n.\,$
$P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n}{k}\binom{4n-2k}{2n}0^{2n-2k}=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}$ , поскольку $\forall k\neq n$ $0^{2n-2k}=0$ , а $0^{2n-2n}=1$ .
Для $n\neq 0$ , $P_{2n}(0)\leqslant\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ .
$\forall x\in[-1,\;1],\;\forall n\in\N^*,\;|P_n(x)|\leqslant\sqrt{\frac{2}{\pi n(1-x^2)}}.$

Ряды многочленов ЛежандраПравить

См. также: Сумма ряда

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов ЛежандраПравить

Липшицевая функция $f$ является функцией со свойством:

|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|

, где

L>0

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть $\varepsilon(I)$ — пространство непрерывных отображений на отрезке $I=[-1,\;1]$ , $f\in\varepsilon(I)$ и $n\in\N$ .

Пусть

c_n(f)=\int\limits_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,

тогда $c_n(f)\,$ удовлетворяет следующему условию:

\lim_{n\to\infty} c_n(f)=0.

Пусть $S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k$ и $S_nf\,$ удовлетворяет следующим условиям:

$\forall x\in I,\;S_nf(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy$ , где $K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{P_{n+1}(x)P_n(y)-P_{n+1}(y)P_n(x)}{x-y} ;$
$S_nf(x)-f(x)=\int\limits_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy ;$
$\forall x\in[-1,1],\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).$

Липшецевую функцию $f$ можно записать следующим образом:

f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n.

Разложение голоморфной функцииПравить

Всякая функция f, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(x)

Теорема сложенияПравить

Для величин, удовлетворяющих условиям $0\le \psi_1 < \pi$ , $0\le \psi_2 < \pi$ , $\psi_1 + \psi_2 < \pi$ , $\phi$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:^[6]

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как^[7]

Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi

при условиях $0\le \psi_1 < \pi/2$ , $0\le \psi_2 < \pi$ , $\psi_1 + \psi_2 < \pi$ , $\phi$

Функции ЛежандраПравить

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра $P_{n,\;m}(x)$ ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах $r,\;\theta,\;\varphi$ ) вида (с точностью до константы)

r^nP^m_n(\cos\theta)\cos m\varphi

r^nP^m_n(\cos\theta)\sin m\varphi,

где $P^m_n$ — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида $r^nY_{n m}$ , где $Y_{n m}$ — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в $\R^3$ .

ПримечанияПравить

↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039
↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127
↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140
↑ Цимринг, 1988, с. 196
↑ ¹ ² ³ Цимринг, 1988, с. 197
↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027
↑ Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028

ЛитератураПравить

Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
Цимринг Ш.Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

Ортогональные многочлены

Многочлены Бернштейна — Сеге • Многочлены Бесселя • Многочлены Гегенбауэра • Многочлены Гейне — Ахиезера • Многочлены Кравчука • Многочлены Лагерра • Многочлены Лежандра • Многочлены Полачека • Многочлены Чебышёва • Многочлены Шарле • Многочлены Эрмита • Многочлены Якоби

Читать на другом языке