Интеграл Пуассона

Не следует путать с Интеграл Эйлера — Пуассона.

Интегра́л Пуассо́на позволяет найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: $u(r, \varphi)\in C^2(D)\cap C(\overline{D}),\ u_0(\varphi)\in C^1(\partial D)$ , где ∂D — граница шара D, а $\overline{D}$ — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

u(r,\varphi)= \frac{R^2 - r^2}{\omega_n R} \int\limits_{\partial D} \frac{u_0(\psi)}{|r - \psi|^n}\,dS(\psi),\ r\in[0; R),

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случаеПравить

Известно, что функция

u(r, \varphi)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{r}{R} \right ) ^n (a_n\cos n\varphi + \tilde{a}_n\sin n\varphi)

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

u(r,\varphi)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)d\psi+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left (\frac{r}{R}\right)^n\left (\cos n\varphi\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\cos n\psi d\psi+\sin n\varphi\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\sin(n\psi)d\psi\right )=

=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\left (\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right ) ^n(\cos n\varphi\cos n\psi+\sin n\varphi\sin n\psi)\right ) d\psi+\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)d\psi=

=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\left ( \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right )^n\cos n(\varphi-\psi)\right )d\psi.

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right )^n\cos n(\varphi-\psi)=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\sum_{n=1}^\infty\left (\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}\right )^n=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\frac{\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}}{1-\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}}=

=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\frac{\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}\left (1-\frac{r}{R}e^{-i(\varphi-\psi)}\right )}{1-2\frac{r}{R}\cos(\varphi-\psi)+\left ( \frac{r}{R}\right )^2}=\frac{R^2-r^2}{2\left ( R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)\right )}.

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

u(r, \varphi)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{u_0(\psi)d\psi}{R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)},\ r\in[0,R).

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области $U$ функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лаплсаса. Известно, что при конформном отображении области $U$ плоскости $z=x+iy$ на область $V$ плоскости $w=\xi+i\eta$ уравнение Лапласа для функции $u(x,y)$ переходит в уравнение $\triangle u(\xi,\eta) = 0$ . С помощью дробно-линейной функции лекго получить отображение исходного круга радиуса $R$ на единичный круг, при котором произвольная точка $z_0=r_0e^{i\varphi_0}$ переходит в центр. Такая функция имеет вид:

w=\rho e^{i\psi}=f(z)=\lambda\frac{z-z_0}{z-\frac{R^{2}}{\bar z_0}}=\lambda\frac{z-r_0e^{i\varphi_0}}{z-\frac{R^{2}}{r_0}e^{i\varphi_0}},

где $\lambda$ выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки $| w |=1$ , при этом $| \lambda |=\frac{R}{r_0}$ , а ${arg}(\lambda)$ произволен. Искомая функция $u(r,\varphi)$ перейдёт в функцию $U(\rho,\psi)$ . Граничная функция $u_0(\varphi)$ перейдёт в $U_0(\psi)=u_0(\varphi(1,\psi))$ . Тогда по теореме о среднем:

u(r_0,\varphi_0)=U\vert_{w = 0}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}U_0(\psi)d\psi.

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить $U_0(\psi)$ через $u_0(\varphi)$ . Для граничных точек круга $| z | \leqslant R$ и круга $| w | \leqslant 1$ формула дробно-линейного преобразования даёт